Треугольники

В треугольнике проведены высота и медиана угол равен Точка лежит на отрезке В треугольнике проведена высота Прямые и пересекаются в точке Известно что — биссектриса угла
а) Докажите что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника , если

а) В прямоугольном треугольнике значит
Тогда так как — биссектриса угла то

Итак, треугольник — равнобедренный,
Имеем:

треугольник — равнобедренный с углом в а значит — равносторонний.

то есть треугольник — прямоугольный.

б) В равностороннем треугольнике высота является и медианой,
Треугольники и равны по катету ( — общий) и острому углу ().



Ответ:

 — равносторонний треугольник. На стороне выбрана точка серединный перпендикуляр к отрезку пересекает сторону в точке а сторону  — в точке
а) Докажите, что угол равен углу
б) Найдите отношение площадей треугольников и если

а) и равноудалены от и т. е.
по 3-му признаку.
Пусть
Тогда
Из

Наконец,

б) по двум углам.
Пусть  — коэффициент подобия.
Тогда
Пусть
Имеем:

Итак,

Откуда

Ответ:

На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно. Оказалось, что
а) Докажите, что точки и середины отрезков и лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла между прямыми и если

а) Пусть  — середины Пусть  — середина
 — средняя линия  — средняя линия
Так как при этом то то есть равноудалена от и а значит лежат на одной окружности.
б) Заметим,  — прямоугольный.
Пусть острый угол между прямыми  — Пусть

Итак,
Ответ:

На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём
Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что  — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,

Видеозапись решения доступна по ссылке.
Ответ:

В треугольнике точки  — середины сторон и соответственно,  — высота,
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите если

а) Пусть тогда и (по свойству средней линии
Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника  — точка пересечения прямых

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то то есть треугольник  — равнобедренный, но тогда высота в нем — биссектриса. То есть и
Итак, в четырехугольнике суммы противоположных углов равны значит около него можно описать окружность.
б) Пусть
Треугольник  — прямоугольный, равнобедренный. Тогда
По теореме синусов для треугольника

Тогда

Откуда
Ответ:

В остроугольном треугольнике из вершин и опущены высоты и на стороны и Известно, что площадь треугольника равна площадь треугольника равна а длина отрезка равна
а) Доказать, что треугольники и подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника

а) Пусть Тогда
Как известно, вершины треугольников, чьи гипотенузы совпадают, лежат на одной окружности. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Но тогда
Итак, и  — общий для треугольников Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
б) Так как если коэффициент подобия треугольников то площади находятся в отношении то, учитывая, что замечаем, что коэффициент подобия треугольников равен и
По теореме синусов

где  — радиус окружности, описанной около
Тогда

Ответ:

В прямоугольном треугольнике  проведена высота  из вершины прямого угла В треугольники  и  вписаны окружности с центрами  и  соответственно, касающиеся прямой  в точках  и  соответственно.
а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника если

а) Пусть
Из треугольника имеем: Тогда и
Пусть
Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения биссектрис углов треугольника, поэтому
Итак, из

Таким образом, прямые  и  перпендикулярны.

б) Из треугольника

Пусть радиусы вписанных окружностей в треугольники соответсвенно.

Заметим, так как радиусы вписанных окружностей подобных треугольников связаны как и соответствующие стороны треугольников одним отношением.

Найдем

Тогда

Пусть точки касания окружностей (большей и меньшей соответственно) со стороной

Не забываем, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Заметим, квадраты со сторонами соответственно.

Тогда

Наконец,

Ответ:

В остроугольном треугольнике проведены высоты и
а) Докажите, что углы и равны.
б) Найдите длину отрезка если известно, что

а) Поскольку прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, то все четыре точки и лежат на одной окружности (с центром в середине гипотенузы
Но тогда углы  — вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу А значит, они равны.
б) С одной стороны, по формуле Герона,

С другой стороны,

поэтому

Тогда

Наконец, по теореме косинусов для треугольника с учетом того, что имеем:

Ответ:

В остроугольном треугольнике проведены высоты и
а) Докажите, что углы и равны.
б) Вычислите длину стороны если известно, что периметр треугольника равен периметр треугольника равен а радиус окружности, описанной около треугольника равен

а) Заметим, так как треугольники имеют общую гипотенузу, то точки лежат на одной окружности.
Пусть тогда
А так как (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и
Наконец,
Итак, Что и требовалось доказать.
б) Треугольники и подобны по второму признаку.
Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении где  — коэффициент подобия.
Имеем:
С другой стороны, то есть
Заметим также, (по теореме Синусов для треугольника
Тогда откуда
Наконец,
Ответ:

В равнобедренном треугольнике проведены высоты и
a) Докажите, что треугольник  — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника если известно, что площадь треугольника равна а косинус угла равен

а) Треугольники и равны по гипотенузе и острому углу  — общая, (углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда
Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними откуда следует, что то есть треугольник  — равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
б) Из треугольника

Пусть тогда Очевидно,
Опять же, из треугольника

Из треугольника

Заметим, (из и (из
Далее
Тогда

Наконец,

Ответ:
Вы можете найти аналогичную задачу здесь.

В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы
a) Докажите, что треугольник  — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника если известно, что площадь треугольника равна а косинус угла равен

a) Треугольники равны по второму признаку Следовательно,
Треугольники равны по первому признаку
Следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Так как по условию, то пусть
По свойству биссектрисы
Имеем:

Тогда коэффициент подобия треугольников  — это то есть
Помним, что отношение площадей подобных треугольников есть где  — коэффициент подобия.
Значит,
Заметим, что

При этом

То есть

Итак,
Ответ:
Вы можете найти аналогичную задачу здесь.

Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка не совпадающая ни с одной из точек и
а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках и если известно, что его площадь равна а радиус окружности равен

а) Пусть  — между и Докажем, что
В остальных случаях рассуждения аналогичные.
Пусть  — радиус окружности, описанной около
Из треугольника  — центр по теореме Косинусов:

Из треугольника по теореме Косинусов:

Из треугольника по теореме Косинусов:

Тогда

то есть
Что и требовалось доказать.
б) Поскольку радиус окружности, описанной около равен то сторона a треугольника есть
Заметим,  — точка пересечения и
Имеем

При этом
Тогда Подставляем в

Наконец,

Ответ:

В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника если известно, что угол равен а площадь треугольника равна

а) Точки лежат на одной окружности с диаметром
Поэтому как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Заметим, как вертикальные.
Тогда по двум углам.
б) Так по условию и то

Из прямоугольного треугольника с углом в
Аналогично
Распишем площадь четырехугольника

Ответ: